【統計】期待値の基本性質の導出と確認

本記事では統計における期待値の基本性質の導出についてまとめています。

期待値の基本演算ルールの導出

$$期待値：E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx$$

(1) E(X+c)=E(X)+c

\begin{split}
左辺&=E(X+c)\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}(x+c)f(x)dx\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx+\int_{-\infty}^{\infty}cf(x)dx\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx+c\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx\\
\int_{-\infty}^{\infty}&xf(x)dx=E(X), \int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=1より\\
&=E(X)+c\\
&=右辺
\end{split}

(2) E(cX)=cE(X)

\begin{split}
左辺 &=E(cX) \\
&=\int_{-\infty}^{\infty}cxf(x)dx \\
&=c\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx \\
\int_{-\infty}^{\infty}&xf(x)dx=E(X)より\\
&=cE(X)\\
&=右辺
\end{split}

(3)E(aX+b)=aE(X)+b

\begin{split}
左辺&=\int_{-\infty}^{\infty}(ax+b)f(x)dx \\
&=a\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx+b\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx\\
\int_{-\infty}^{\infty}&xf(x)dx=E(X), \int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=1より\\
&=aE(X)+b\\
&=右辺
\end{split}

(4)E(c)=c

\begin{split}
左辺&=E(c)\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}cf(x)dx\\
&=c\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx\\
&\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=1より\\
&=c\\
&=右辺
\end{split}

(5)E(X+Y)=E(X)+E(Y)

\begin{split}
左辺&=E(X+Y)\\
&=\iint(x+y)f(x,y)dxdy\\
&=\iint xf(x,y)dxdy+\iint yf(x,y)dxdy\\
&=\int x\int f(x,y)dy dx+\int y\int f(x,y)dx dy\\
&=E(X)+E(Y)\\
&=右辺
\end{split}

(6)E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)

\begin{split}
左辺&=E(aX+bY)\\
&=\iint(ax+by)f(x,y)dxdy\\
&=\iint axf(x,y)dxdy+\iint byf(x,y)dxdy\\
&=a\iint xf(x,y)dxdy+b\iint yf(x,y)dxdy\\
&=aE(X)+bE(Y)\\
&=右辺
\end{split}