本記事では二項分布・ポアソン分布・指数分布・正規分布の4つの確率分布のモーメント母関数から期待値、分散を導出する方法を解説する。
目次
モーメント母関数から期待値と分散の導出方法
モーメント母関数から期待値を導出する方法
モーメント母関数から期待値を導出するにはモーメント母関数を1回微分し、0を代入すれば良い。
例えば、二項分布の場合、
$$モーメント母関数：M_x(t)=[pe^t+(1-p)]^n$$
を1回微分し、tに０を代入して計算すると、np=E(X)と期待値が導出される。
モーメント母関数から分散を導出する方法
モーメント母関数から分散を導出するには、モーメント母関数を2回微分し、０を代入し、以下の式に代入すれば良い。
\begin{split}
V(X)&=E(X^2)+(E(X))^2\\
&=M_x''(0)-[M_x'(0)]^2\\
\end{split}
期待値とは違い、モーメント母関数を2回微分し０を代入するだけでは分散は求まらないことに注意が必要。
二項分布について
二項分布のモーメント母関数
$$M_x(t)=[pe^t+(1-p)]^n$$
二項分布の期待値の導出
\begin{split}
M_x'(t)&=([pe^t+(1-p)]^n)'\\
&=npe^t[pe^t+(1-p)]^{n-1}\\
\end{split}
\begin{split}
M_x'(0)&=npe^0[pe^0+(1-p)]^{n-1}\\
&=np[p+1-p]^{n-1}\\
&=np
\end{split}
二項分布の期待値は、\(E(X)=np\)なので、以上で無事に期待値の導出に成功したといえます。
二項分布の分散の導出
\begin{split}
M_x''(t)&=[npe^t[pe^t+(1-p)]^{n-1}]'\\
&=(npe^t)'[pe^t+(1-p)]^{n-1}+npe^t([pe^t+(1-p)]^{n-1})'\\
&=np[pe^t+(1-p)]^{n-1}+(n-1)np^2e^{2t}[pe^t+(1-p)]^{n-2}\\
\end{split}
\begin{split}
M_x''(0)&=np[pe^0+(1-p)]^{n-1}+(n-1)np^2e^0[pe^0+(1-p)]^{n-2}\\
&=np[p+1-p]^{n-1}+(n-1)np^2[p+1-p]^{n-2}\\
&=np+(n-1)np^2\\
&=np+n^2p^2-np^2\\
\end{split}
\begin{split}
V(X)&=E(X^2)+(E(X))^2\\
&=M_x''(0)-[M_x'(0)]^2\\
&=np+n^2p^2-np^2-n^2p^2\\
&=np-np^2\\
&=np(1-p)\\
\end{split}
二項分布の分散は、\(V(X)=np(1-p)\)なので、以上で無事に二項分布の分散の導出に成功しました。
ポアソン分布について
ポアソン分布のモーメント母関数
$$M_x(t)=e^{\lambda (e^t-1)}$$
ポアソン分布の期待値の導出
\begin{split}
M_x'(t)&=\lambda e^te^{\lambda (e^t-1)}\\
&=\lambda e^{t+\lambda (e^t-1)}
\end{split}
\begin{split}
M_x'(0)&=\lambda e^{0+\lambda (e^0-1)}\\
&=\lambda e^{0+\lambda (1-1)}\\
&=\lambda
\end{split}
ポアソン分布の期待値は\(E(X)=\lambda \)なので、以上で無事にポアソン分布の期待値の導出に成功しました。
ポアソン分布の分散の導出
\begin{split}
M_x''(t)&=[\lambda e^{t+\lambda (e^t-1)}]'\\
&=\lambda (1+\lambda e^t)e^{t+\lambda (e^t-1)}
\end{split}
\begin{split}
M_x''(0)&=\lambda (1+\lambda e^0)e^{0+\lambda (e^0-1)}\\
&=\lambda (1+\lambda )e^{0+\lambda (1-1)}\\
&=\lambda+\lambda ^2
\end{split}
\begin{split}
V(X)&=E(X^2)+(E(X))^2\\
&=M_x''(0)-[M_x'(0)]^2\\
&=\lambda + \lambda ^2-\lambda ^2\\
&=\lambda
\end{split}
ポアソン分布の分散は\( V(X)=\lambda \)なので、以上でポアソン分布の分散を求められたということになります。
指数分布について
指数分布のモーメント母関数
$$M_x(t)=\frac{\lambda }{\lambda -t} \qquad (t<\lambda )$$
指数分布の期待値の導出
\begin{split}
M_x'(t)&=\frac{\lambda }{(\lambda -t)^2}
\end{split}
\begin{split}
M_x'(0)&=\frac{\lambda }{(\lambda -0)^2}\\
&=\frac{\lambda }{\lambda ^2}\\
&=\frac{1}{\lambda }
\end{split}
指数分布の期待値は、\(E(X)=\frac{1}{\lambda }\)なので、以上で指数分布の期待値を求められました。
指数分布の分散の導出
\begin{split}
M_x''(t)&=[\frac{\lambda }{(\lambda -t)^2}]'\\
&=\frac{2\lambda }{(\lambda -t)^3}
\end{split}
\begin{split}
M_x''(0)&=\frac{2\lambda }{(\lambda -0)^3}\\
&=\frac{2\lambda }{\lambda^3}\\
&=\frac{2}{\lambda ^2}
\end{split}
\begin{split}
V(X)&=E(X^2)-(E(X))^2\\
&=M_x''(0)-[M_x'(0)]^2\\
&=\frac{2}{\lambda ^2}-\frac{1}{\lambda ^2}\\
&=\frac{1}{\lambda ^2}
\end{split}
指数分布の分散は、\(V(X)=\frac{1}{\lambda ^2}\)なので、以上で指数分布の分散が求められたことになります。
正規分布について
正規分布のモーメント母関数
$$M_x(t)=e^{\mu t+\sigma ^2 \frac{t^2}{2}}$$
正規分布の期待値の導出
\begin{split}
M_x'(t)&=(e^{\mu t+\sigma ^2 \frac{t^2}{2}})'\\
&=(\mu +\sigma ^2 t)e^{\mu t+\sigma ^2 \frac{t^2}{2}}
\end{split}
\begin{split}
M_x'(0)&=(\mu +\sigma ^2\times 0)e^{\mu \times 0+\sigma ^2 \frac{0}{2}}\\
&=\mu \times e^0\\
&=\mu
\end{split}
正規分布の期待値は\(E(X)=\mu \)なので、以上で正規分布の期待値を導出できたことになります。
正規分布の分散の導出
\begin{split}
M_x''(t)&=[(\mu +\sigma ^2 t)e^{\mu t+\sigma ^2 \frac{t^2}{2}}]'\\
&=[(\mu +\sigma ^2 t)]'e^{\mu t+\sigma ^2 \frac{t^2}{2}}+(\mu +\sigma ^2 t)[e^{\mu t+\sigma ^2 \frac{t^2}{2}}]'\\
&=\sigma ^2 e^{\mu t+\sigma ^2 \frac{t^2}{2}}+(\mu +\sigma ^2 t)^2 e^{\mu t+\sigma ^2 \frac{t^2}{2}}\\
&=[\sigma ^2+(\mu + \sigma ^2 t)^2]e^{\mu t +\sigma ^2 \frac{t^2}{2}}
\end{split}
\begin{split}
M_x''(0)&=[\sigma ^2 +(\mu +\sigma ^2 \times 0)^2]e^{\mu \times 0 + \sigma ^2 \frac{0}{2}}\\
&=(\sigma ^2+\mu ^2)e^{0}\\
&=\sigma ^2 +\mu ^2
\end{split}
\begin{split}
V(X)&=E(X^2)-[E(X)]^2\\
&=M_x''(0)-[M_x'(0)]^2\\
&=\sigma ^2 +\mu ^2 -\mu ^2\\
&=\sigma ^2
\end{split}
正規分布の分散は\( V(X)=\sigma ^2 \)なので、以上で正規分布の分散を求められたことになります。
